Höhenversatz bei einem Abwurf des Darts berechnen wenn man nicht mittig zum Board steht (40/80 cm)
Ich wollte mal berechnen wieviel cm ich höher zielen muss wenn ich ca. 80 cm oder 40 cm seitlich zur Mitte des Dartboards stehe und habe daher mal die KI (ChatGPT) gefragt.
Ich gehe davon aus, dass ich den Dart ca. 128 cm (ca. 45 cm nach der eigentlichen Abwurflinie) vor dem Dartboard los lasse wenn ich mittig vor dem Board stehe.
Hier mal das Ergebnis vorneweg:
Wenn ich ca. 80 cm seitlich stehe, muss ich ca. 11 mm höher zielen.
Wenn ich ca. 40 cm seitlich stehe, muss ich ca. 4 mm höher zielen.
Vorher muss natürlich über den Satz des Pythagoras die Entfernung berechnet werden:
Ich stehe mittig zum Board: 128 cm
Ich stehe 40 cm versetzt zum Board: 134,104 cm
Ich stehe 80 cm versetzt zum Board: 150,944 cm
Meine Frage an ChatGPT:
Kannst Du mir bei einer Steel Dart Berechnung helfen?
Und wenn ich den ersten Dart 128 cm weit werfe und den zweiten Dart 150,944 cm weit werfe, beides auf einer Höhe von 173 cm.
Beide Darts werfe ich mit der gleichen Geschwindigkeit, Kraft und als theoretisch exakt gerade Linie.
Wieviel cm weiter unten landet der zweite Dart?
ChatGPT:
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Flugbahn der Darts analysieren, die durch die Gravitationskraft beeinflusst wird. Da beide Darts mit derselben Geschwindigkeit und Kraft geworfen werden und die Flugbahn als gerade Linie angenommen wird, können wir eine einfache Berechnung unter der Annahme einer gleichmäßigen Beschleunigung durch die Schwerkraft (g ≈ 9.81 m/s²) durchführen.
Schritte zur Lösung:
Berechnung der Flugzeit jedes Darts: Da beide Darts mit derselben Anfangsgeschwindigkeit geworfen werden, ist die Flugzeit des zweiten Darts länger, da er eine größere Distanz zurücklegt.
Formel für die Flugzeit (t): Um die Flugzeit zu berechnen, können wir die Formel t=dvt=vd verwenden, wobei dd die horizontale Distanz und vv die horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit ist. Da die horizontale Geschwindigkeit für beide Darts gleich ist und konstant bleibt, können wir die Verhältnisse der Flugzeiten direkt aus den Wurfdistanzen ableiten.
Flugzeitverhältnis = t2t1=d2d1t1t2=d1d2
t1t1 ist die Flugzeit des ersten Darts und t2t2 des zweiten Darts.
d1=128d1=128 cm und d2=150,944d2=150,944 cm.
Berechnung des Höhenunterschieds durch die Gravitation:
Die vertikale Position yy eines Objekts, das unter dem Einfluss der Gravitation fällt, wird durch y=12gt2y=21gt2 bestimmt, wobei gg die Beschleunigung durch die Schwerkraft ist und tt die Zeit.
Berechnen der Flugzeit und des Höhenunterschieds:
Das Verhältnis der Flugzeiten ist 150,944128≈1.179128150,944≈1.179.
Nehmen wir an, t1=tt1=t, dann ist t2=1.179tt2=1.179t.
Höhenunterschied ΔyΔy = 12g(t22−t12)21g(t22−t12).
Einsetzen der Werte:
Δy=12×9.81×((1.1792t2)−t2)Δy=21×9.81×((1.1792t2)−t2)
Δy=12×9.81×(1.390641t2−t2)Δy=21×9.81×(1.390641t2−t2)
Δy=4.905×0.390641t2Δy=4.905×0.390641t2
Δy=1.917t2Δy=1.917t2.
Da uns die genaue Anfangsgeschwindigkeit und somit die exakte Flugzeit tt nicht bekannt ist, ist es schwierig, ΔyΔy numerisch zu bestimmen. Stattdessen zeigen die obigen Berechnungen, wie der Höhenunterschied relativ zur Distanz und der Wurfzeit berechnet werden kann. Um ΔyΔy genau in Zentimetern zu berechnen, wäre eine bekannte Geschwindigkeit oder Flugzeit notwendig.
Ich:
Die Geschwindigkeite wäre 60 km/h. Reicht das für eine Berechnung?
ChatGPT:
Ja, mit einer Geschwindigkeitsangabe von 60 km/h können wir die tatsächliche Flugzeit und somit den Höhenunterschied berechnen, den die Gravitation auf die beiden Darts ausübt.
Schritt 1: Umrechnen der Geschwindigkeit in m/s
60 km/h muss in Meter pro Sekunde umgerechnet werden:
60 km/h=60×1000 m3600 s=16.67 m/s60 km/h=3600 s60×1000 m=16.67 m/s
Schritt 2: Berechnung der Flugzeit für jeden Dart
Die Flugzeit tt für eine gegebene Strecke dd bei konstanter horizontaler Geschwindigkeit vv ist:
t=dvt=vd
Für den ersten Dart (128 cm = 1.28 m):
t1=1.28 m16.67 m/s=0.0768 st1=16.67 m/s1.28 m=0.0768 s
Für den zweiten Dart (150.944 cm = 1.50944 m):
t2=1.50944 m16.67 m/s=0.0905 st2=16.67 m/s1.50944 m=0.0905 s
Schritt 3: Berechnen des Höhenunterschieds
Die Formel für den Höhenunterschied unter dem Einfluss der Gravitation über eine Zeit tt ist:
Δy=12gt2Δy=21gt2
Höhenunterschied des ersten Darts:
Δy1=12×9.81×(0.0768 s)2=0.0289 mΔy1=21×9.81×(0.0768 s)2=0.0289 m
Höhenunterschied des zweiten Darts:
Δy2=12×9.81×(0.0905 s)2=0.0395 mΔy2=21×9.81×(0.0905 s)2=0.0395 m
Schritt 4: Berechnen des zusätzlichen Höhenunterschieds des zweiten Darts
Um den zusätzlichen Höhenunterschied zu finden, subtrahieren wir Δy1Δy1 von Δy2Δy2:
Δy=Δy2−Δy1=0.0395 m−0.0289 m=0.0106 mΔy=Δy2−Δy1=0.0395 m−0.0289 m=0.0106 m
Schritt 5: Umrechnung in cm
Δy=0.0106 m×100=1.06 cmΔy=0.0106 m×100=1.06 cm
Ergebnis: Der zweite Dart, der 150.944 cm weit geworfen wird, landet etwa 1.06 cm tiefer als der erste Dart, der 128 cm weit geworfen wird, wenn beide mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h geworfen werden.
Ich:
Und wenn ich den zweiten Dart 134,104 cm weit werfe, wieviel cm tiefer würde dieser dann landen wenn Du die gleiche Berechnung zu Grunde legst?
ChatGPT:
Um zu berechnen, wie viel tiefer der zweite Dart landet, wenn er 134.104 cm (1.34104 m) weit geworfen wird, wiederholen wir die Schritte mit der neuen Distanz.
Berechnung der Flugzeit für den neuen zweiten Dart
Die Flugzeit tt bei konstanter horizontaler Geschwindigkeit vv ist gegeben durch:
t=dvt=vd
wobei v=16.67 m/sv=16.67 m/s (umgerechnet von 60 km/h).
Für den ersten Dart (128 cm = 1.28 m):
t1=1.28 m16.67 m/s=0.0768 st1=16.67 m/s1.28 m=0.0768 s
Für den neuen zweiten Dart (134.104 cm = 1.34104 m):
t2=1.34104 m16.67 m/s=0.0804 st2=16.67 m/s1.34104 m=0.0804 s
Berechnung des Höhenunterschieds
Die Formel für den Höhenunterschied unter dem Einfluss der Gravitation über eine Zeit tt ist:
Δy=12gt2Δy=21gt2
Höhenunterschied des ersten Darts:
Δy1=12×9.81×(0.0768 s)2=0.0289 mΔy1=21×9.81×(0.0768 s)2=0.0289 m
Höhenunterschied des neuen zweiten Darts:
Δy2=12×9.81×(0.0804 s)2=0.0326 mΔy2=21×9.81×(0.0804 s)2=0.0326 m
Berechnen des zusätzlichen Höhenunterschieds des neuen zweiten Darts
Um den zusätzlichen Höhenunterschied zu finden, subtrahieren wir Δy1Δy1 von Δy2Δy2:
Δy=Δy2−Δy1=0.0326 m−0.0289 m=0.0037 mΔy=Δy2−Δy1=0.0326 m−0.0289 m=0.0037 m
Umrechnung in cm
Δy=0.0037 m×100=0.37 cmΔy=0.0037 m×100=0.37 cm
Ergebnis: Wenn der zweite Dart 134.104 cm weit geworfen wird, landet er etwa 0.37 cm tiefer als der erste Dart, der 128 cm weit geworfen wird, basierend auf einer Anfangsgeschwindigkeit von 60 km/h.
